Есть интересная наука, которая называется Теория графов. В программировании можно встречать много задач, которые на теорию графов опираются. Я не буду переписывать о графах из других источников, а опишу немного по-своему. Здесь будет описан именно Гамильтонов цикл. Это первое мое знакомство с материалами из теории графов, поэтому здесь простой и не глубокий материал.

Чтобы объяснить, что такое Гамильтонов цикл, я приведу 2 визуальных примера. Очень простой и чуть-чуть посложнее.
Советую перерисовать дом с номерами на лист бумаги, удобнее будет смотреть позже.
Это самый простой пример. Слева нарисован рисунок. Справа у рисунка обозначены некоторые точки. Если представить, что линии — это дороги, а точки — пункты назначения, то существует множество маршрутов между этими точками. Предлагаю сыграть в простую игру.

• Вы командир снайперов. У вас есть 5 снайперов, которых надо расставить по 5 пунктам. Ваши начальники жестоко над вами пошутили и дали вам 5 снайперов дальтоников. Задача каждого снайпера стрелять в любого, кто остановится или свернет в его точке. Т.е. вы двигаетесь по маршруту, оставляете в каждой точке снайпера. Если вы останавливаетесь или сворачиваете в точке, где снайпер есть, то вся ваша оставшаяся команда умирает под обстрелом.

Надеюсь смысл понятен. Вы должны вернутся на базу один и целым. База — это точка выхода. Откуда вышли, над туда прийти.

Вот пример. Поможет понять правило игры.
Старт точка 4:
4—>3—>1—>2—>4 Снайпер с точки 4 вас убил за то, что у вас снайпер остался. Ведь вы вернулись на базу не выполнив приказ.
Если делать проход по 3-4, то дальше в одной из точек будете убиты.
Но можно пройти 4—>5—>3—>1—>2—>4, снайперы на месте, вы на базе. Совсем не обязательно по всем дорогам шататься, главное посещение нужных точек и не попадаться на глаза оставленным снайперам.
Если бы между 2 и 4 был пункт 6, то можно было двигаться 2—>4—6, дальше снайпер. Если бы в 6 стоял снайпер, а вы шли 2—>4, то снайпер 6 вас не трогает, вы не остановились и прошли прямо.

Надеюсь освоились с правилом и поняли, что от вас требуется.
Такой маршрут можно рассчитать с помощью теории графов и запрограммировать это в программу..
Ниже исходного кода есть еще один рисунок. Поиграйте с ним немного, пытаясь найти нужный маршрут, согласно нашему правилу. Может помочь в развитии уметь думать и вместе с этим лучше поймете, что такое Гамильтонов цикл вообще.

А сейчас поясню как оно программируется. Для начала я буду использовать матрицу смежности.

• Матрица смежности — Это квадратная матрица, элементы которой показывают, смежны ли вершины друг с другом. Если элемент матрицы x[i,j]=0, то вершины i и j не смежны, если x[i,j]=1 — то смежны (смежными называются вершины, которые соединяются ребром (дугой) графа)

Чтобы было понятнее, попытаюсь объяснить. Давайте смотреть на нумерованный рисунок и отталкиваться от нумерованных узлов по порядку. (удобнее если вы все-таки срисовали)
1) 1 соединен с 2 и 3 (значит 1 смежно с 2 и 3)
2) 2 соединен с 4 и 1
3) 3 соединен с 1, 4 и 5
4) 4 соединен с 2, 3 и 5
5) 5 соединен с 3 и 4

Из этой информации нужно создавать матрицу. Сначала просто пронумеруем поле для матрицы

     1    2    3    4    5
1
2
3
4
5

Отсчет у нас от единицы. Можно делать от нуля, но мне оказалось проще так. Теперь постепенно заполняем матрицу нулями и единицами. Смотрим на информацию выше (там где про соединения) и расставляем по матрице значения.
1) 1 соединен с 2 и 3 (значит 1 смежно с 2 и 3)
———————
     1    2    3    4    5
1   0   1    1    0    0
2
3
4
5
———————
Видите связь? Внимательно присмотритесь. Слева у нас номер узла, сверху номер другого узла. Если узлы соединены, то ставим 1, если нет, то 0. Дальше заполняем матрицу аналогично. Итоговая матрица по рисунку получается
———————
     1    2    3    4    5
1   0   1    1    0    0
2   1   0    0    1    0
3   1   0    0    1    1
4   0   1    1    0    1
5   0   0    1    1    0
———————
Я очень надеюсь, что смог объяснить как составляется матрица смежности, потому что эту матрицу смежности мы будем подставлять в программу.

Исходник Гамильтонова цикла

Программа есть. Смотрим результат.
3—>1—>4—>2—>5—>3
Программа показала нам нужный маршрут нашей простецкой игры.

Давайте немного усложним сам рисунок для теста программы. Как я предлагал выше, попробуйте сами найти нужный маршрут, согласно нашим правилам. Думаю это может вызывать некоторые затруднения. Найти без помощи компа.

Даже если пробовали, но не особо получается, то ведь мы теперь знаем о существовании Гамильтонова цикла и получили о Гамильтоновом цикле первое представление. Даже знаем, что этот Гамильтоновый цикл можно заложить в исходник программы и знаем как. Единственное неудобство — это составление и подставление матрицы смежности в программу. Здесь 13*13 элементов в матрице, поэтому требуется быть очень внимательным.

Я не буду повторять исходник. Там достаточно поменять N=13 и поменять матрицу на новую. Имеет смысл понять как составляется матрица. Выше я описал насколько смог, чтоб было проще разбираться, здесь показываю итоговую для текущего рисунка
0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,
0,0,0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,0,
0,1,1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,
0,0,1,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,
1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,
0,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,0,0,
0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,0,0,0,
0,0,1,0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,
0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,
0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,1,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0
Вы можете сами пробовать свои силы в составлении матрицы. Сверить очень просто — подставить мою в программу и посмотреть результат, потом вашу и посмотреть результат. А если вы поняли правило предложенной игры, то даже сверять результаты двух запусков программы не надо, достаточно визуального прохода по точкам. Можно на листе бумаги закрашивать точки со снайпером.

P.S. Такое вот обобщенное представление Гамильтонова цикла из теории графов в C++ получилось создать.